浅谈雅可比（Jacoobi）行列式

雅可比行列式常应用于重积分的计算，对化简积分有着重大的作用，建议大家学习一下。

我们在计算重积分的时候，一般微分算子都是

$$dx_1dx_2$$

或者

$$dx_1dx_2dx_3$$

很多人以为这些微分算子之间是乘法运算，其实并不是。他们之间是一种楔形积的运算，记作^，因此：

$$dx_1dx_2=dx_1\wedge dx_2$$

或者

$$dx_1dx_2dx_3=dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3$$

是他们的严格写法。

楔形积简单来说，它的运算类似于向量的叉积，因此满足以下性质：

$$\begin{aligned} &dx\wedge dy=-dy\wedge dx \\ &dx\wedge dx=0 \end{aligned}$$

因此，如果

$$x=x(u,v)\\ y=y(u,v)$$

那么

$$dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\\ dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv$$

那么

$$\begin{aligned} dx\wedge dy&=(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv)\wedge(\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv)\\ &=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}du\wedge du+\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}du\wedge dv-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}du\wedge dv+\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}dv\wedge dv\\ &=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}du\wedge dv-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}du\wedge dv\\ &=\left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| du\wedge dv\\ &=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|du\wedge dv\\ \end{aligned}$$

我们把

$$\left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right|=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|$$

叫做雅可比行列式（Jacobian），它的值取绝对值，因此恒大于0.

在积分的计算中有什么应用呢？最主要的应用就是换元。

比如要计算

$$\iint f(x,y)dxdy$$

那么要是我们找到了：

$$x=x(u,v)\\ y=y(u,v)$$

那么就可以把这个积分写成：

$$\iint f(x,y)dxdy=\iint f[x(u,v),y(u,v)]|\ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv$$

比如极坐标的积分变换：

$$x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta$$

我们发现$x$和$y$都是关于$r$和$\theta$的二元函数，因此：

$$|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}|=\left| \begin{array}{cccc} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{array} \right|=r$$

所以：

$$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdrd\theta$$

这就是极坐标积分变换的由来。

我们也可以把这个结论拓展到三维情况，这个交给读者自行推导，这里给出结论：

若

$$x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)$$

那么

$$dx\wedge dy\wedge dz=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|\ du\wedge dv\wedge dw$$

其中

$$|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} &\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u} &\frac{\partial z}{\partial v} &\frac{\partial z}{\partial w} \end{array} \right|$$

通过三维的楔形积，可以推导出柱坐标和球坐标的积分变换，这里举柱坐标的例子：

$$\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta\\ z&=z \end{aligned}$$

计算雅可比行列式

$$|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}|= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial z}\\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta} &\frac{\partial y}{\partial z}\\ \frac{\partial z}{\partial r} &\frac{\partial z}{\partial \theta} &\frac{\partial z}{\partial z} \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\\ \end{array} \right|=r$$

因此：

$$\iiint f(x,y,z)dxdydz=\iiint f[x(r,\theta, z),y(r,\theta, z),z(r,\theta, z)]\ rdrd\theta dz$$

我们做一次降维打击，如果是一维的话会怎么样呢？

其实一维情况下正是我们在积分学到的两类换元法，本质其实就是：

若

$$x=x(t)$$

那么

$$dx=|\frac{\partial x}{\partial t}|dt$$

最后，我们来看道竞赛题：

（2016年数竞 · 非数学类）某物体所在的空间区域为$\Omega={(x,y,z)\ |\ x^2+y^2+2z^2\le x+y+2z }$，密度函数为$x^2+y^2+z^2$，求质量$M=\iiint_\Omega\ (x^2+y^2+z^2)dxdydz$。

乍一看一头雾水，但注意观察$\Omega$，可以变形：

$$x^2+y^2+2z^2\le x+y+2z$$

即：

$$x^2-x+y^2-y+2z^2-2z\le0$$

即：

$$(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2+2(z-1)^2\le1$$

那么，令：

$$\begin{aligned} u&=x-\frac{1}{2}\\ v&=y-\frac{1}{2}\\ w&=\sqrt{2}(z-1) \end{aligned}$$

即：

$$\begin{aligned} x&=u+\frac{1}{2}\\ y&=v+\frac{1}{2}\\ z&=\frac{w}{\sqrt{2}}+1 \end{aligned}$$

然后用雅可比行列式换元：

$$dxdydz=\left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} &\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u} &\frac{\partial z}{\partial v} &\frac{\partial z}{\partial w} \end{array} \right|dudvdw=\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right|dudvdw=\frac{1}{\sqrt{2}}dudvdw$$

变换的空间区域为：

$$\Omega'=\{(u,v,w)\ |\ u^2+v^2+w^2\le1\}$$

这样积分就化为：

$$\iiint_{\Omega'}\ [(u+1/2)^2+(v+1/2)^2+(w/\sqrt{2}+1)^2]\ \frac{1}{\sqrt{2}}dudvdw=\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\iiint_{\Omega'}\ [(u^2+v^2+w^2/2)+(u+v+\sqrt{2}w)+\frac{3}{4}]\ dudvdw$$

我们分三个部分计算，首先从常数算起

由于$\Omega’$是球域，那么$V=\frac{4\pi}{3}$，故：

$$\iiint_{\Omega'}3/4\ \ dudvdw=3V/4=\pi$$

然后是一次项，很巧的是，由于$\Omega’$是个对称的区域，并且一次项的变量为奇函数，根据对称性可以知道这一部分积分为0：

$$\iiint_{\Omega'}(u+v+\sqrt{2}w)\ dudvdw=0$$

最后是二次项，$\Omega’$是个球域，满足轮换对称性，也就是：

$$\iiint u^2 dudvdw = \iiint v^2 dudvdw= \iiint w^2 dudvdw\\ \iiint u^2+v^2+w^2 \ dudvdw=3\iiint u^2 dudvdw \\ \iiint u^2+v^2+w^2/2 \ dudvdw=\frac{5}{2}\iiint u^2 \ dudvdw=\frac{5}{6}\iiint u^2+v^2+w^2\ dudvdw$$

由球坐标换元，可以得到：

$$\frac{5}{6}\iiint u^2+v^2+w^2\ dudvdw=\frac{5}{6}\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^\pi d\phi\int_0^1r^2·r^2\sin\phi dr=\frac{2\pi}{3}$$

代入原式得到：

$$\iiint_{\Omega'}\ [(u+1/2)^2+(v+1/2)^2+(w/\sqrt{2}+1)^2]\ \frac{1}{\sqrt{2}}dudvdw=\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\iiint_{\Omega'}\ [(u^2+v^2+w^2/2)+(u+v+\sqrt{2}w)+\frac{3}{2}]\ dudvdw=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{2\pi}{3}+\pi)=\frac{5\sqrt{2}\pi}{6}$$

s
故质量：

$$M=\frac{5\sqrt{2}\pi}{6}$$

浅谈雅可比（Jacoobi）行列式

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Author

InverseDa

Posted on

2020-10-21

Updated on

2023-03-30

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