高中数学概率论进阶
排列数：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$
组合数：$C^m_n=\frac{n!}{(n-m)!m!}$
德·摩根律：$\overline A \cup \overline B= \overline {A\cap B},\ \overline A \cap \overline B= \overline {A\cup B}$
正态分布：$X\sim N(\mu,\sigma^2)\ \Rightarrow\ \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
$3\sigma$原则：$P(-1<\frac{X-\mu}{\sigma}<1)=0.6826$
$P(-2<\frac{X-\mu}{\sigma}<2)=0.9544$
$P(-3<\frac{X-\mu}{\sigma}<3)=0.9974$
设$A$和$B$为两个随机事件，$P(A)+P(B)=0.8$，且$P(A\cup B)=0.6$，则$P(B\overline A)+P(\overline B A)=$_；
设$A$和$B$为两个随机事件，$P(A|B)=0.4$，$P(B|A)=0.4$，$P(\overline A| \overline B)=0.7$，则$P(A+B)=$_；
设$A$和$B$为两个随机事件，$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，$P(A|B)=P(A|\overline B)$，则$P(A \overline B)=$_；
设$A$，$B$相互独立，只有$A$发生和只有$B$发生的概率都是$1/4$，那么$P(A)=$_；
一批产品种一等奖、二等奖、三等奖的比例分别为$60\%、30\%、10\%$，从中任意选取一件结果不是三等奖，则取到一等奖的概率为_；
在$10$件不合格的产品中有$4$件产品不合格，从中任意选取两件，记随机变量$X$表示两件中不合格的件数，那么$X$服从_分布，$P(X=2)=$_，$E(X)=$_；
三次伯努利试验中事件$A$的概率保持不变，若$A$至少发生一次的概率为$19/27$，则一次试验中$A$发生的概率为_；
若$X\sim b(3,0.5)$，那么$E(X)=$_，$D(X)=$_，$P(X\ge1)=$_；
设一次伯努利试验成功的概率为$p$，若进行$100$次独立的伯努利试验，那么当$p=$_时，成功次数的方差最大，其最大值为$D(X)\max=$ __；
设每次伯努利试验成功的概率为$p=3/4$，记$X$为首次成功需要试验的次数，则$X$取偶数的概率为_；
若$X\sim N(1,4)$，则$P(-5<X<7)=$ _；
若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，设$P(X>\mu+\lambda)=p$，$\lambda>\mu$且$\lambda \ne \sigma$，那么$P(\mu-\lambda<X<\mu+\lambda)=$ _；
理论表明，若一组随机变量$X1,X_2,X_3,…,X_n$均服从同一个分布，那么他们的和服从正态分布，也就是$\sum{i=1}^nXi\sim N(n\mu,n\sigma^2)$，其中$\mu=E(X_i)，\sigma^2=D(X_i)$，这就是著名的中心极限定理。根据上述题意，如果一组随机变量$X_1,X_2,X_3,…,X{100}$均服从二项分布，任意一个随机变量$Xi\sim b(100,0.5)$，则$P(5000<\sum{i=1}^{100}Xi<5050)=$ __；
我们知道，离散型随机变量利用分布特有的概率公式来决定随机变量的概率特性，所以离散型随机变量的概率实质为离散函数$P(X=k)$，我们称这个离散函数为概率密度函数。比如二项分布的概率密度函数为$P(X=k)=Cn^k\ p^k(1-p)^{n-k}$。对于连续型随机变量，也有概率密度函数，比如正态分布的概率密度函数为： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$，概率为对应概率密度函数的积分：$P(a
袋中有$a$只白球，$b$只红球，$k$个人依次在袋中取一只球，作放回抽样，求第$i$个人取到白球的概率；
在$1\sim 2000$的整数中随机取一个数，问取到的整数既不能被6整除，也不能被8整除的概率是多少？
将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件$A$为“至少有一次为$H$”，事件$B$为“两次抛出同一面”（$H$表示反面向上，$T$表示正面向上）。求已知事件$A$已经发生的条件下事件$B$发生的概率；
一个盒子装有$4$只产品，其中有$3$只一等品，$1$只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件$A$为“第一次取到的是一等品”，$B$为“第二次取到的是一等品”，求条件概率$P(B|A)$；
某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有如下数据：
| 元件制造厂 | 次品率 | 提供元件的份额 |
| :————: | :——: | :——————: |
| 1 | 0.02 | 0.15 |
| 2 | 0.01 | 0.80 |
| 3 | 0.03 | 0.05 |设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分的标志
（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。
当机器调整得良好时，产品合格率为$98\%$，而当机器发生某种故障的时候，其合格率为$55\%$。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为$95\%$。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率为多少？（计算结果保留四位小数）
甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为$p$，$p\ge1/2$。问对甲而言，采用三局两胜有利，还是采用五局三胜有利。设各局胜负相互独立。
已知$P(A)=1/2$
（1）若$A$，$B$互不相容，求$P(A\overline B)$；
（2）若$P(AB)=1/8$，求$P(A\overline B)$。泊松分布是二项分布的近似，理论表明，对于随机变量$X$而言，若：
其中$\lambda=np$。若$X$服从二项分布，且$n$相对于$p$而言特别大，那么$X$还可近似服从泊松分布，记作$X\sim \pi(\lambda)$，据此回答：
（1）某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
（2）计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达$0.1\%$，各芯片成为次品相互独立。求在$1000$只产品中至少2只次品的概率。以$X$记产品中的次数。（以上两问列出计算式即可）
将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器定在$d^\circ C$，液体的温度$X$（单位$^\circ C$）是一个随机变量，且$X\sim N(d,0.25)$。若$d=90^\circ C$，求$X$小于$89^\circ C$的概率。
已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率：
（1）两件都是正品；
（2）两件都是次品；
（3）一件是正品，一件是次品；
（4）第二次取出的是次品。
设甲袋中装有$n$只白球，$m$只红球；乙袋中装有$N$只白球，$M$只红球。今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一只球，问取到白球的概率为？
三人独立地去破译一份密码，各个人能译出密码的概率分别为$1/5$、$1/3$、$1/4$。问三人中至少有一个人能将此密码译出的概率为多少？
概率论中，我们常常使用似然函数来求出某个统计量的最大似然估计量。其思想是，首先构造似然函数$L(\theta)$，然后求出对数似然函数$\ln L(\theta)$，判断$\ln L(\theta)$的单调性，求出最大值时$\theta$的取值。
（1）现有似然函数$L(\theta)=e^{-\theta^2+2\theta-1}$，请你找出当$\ln L(\theta)$取最大值的时候，$\theta$的最大似然估计量；
（2）严格来说，似然函数的定义为$L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)$，$f(x_i;\theta)$为概率密度函数。若概率密度函数为$f(x_i;\theta)=\theta x_i^{-(\theta+1)}$，求其最大似然估计量。