高中数学必修一小题

1. 已知$f(x)=\frac{x^2+9}{x}\ (x>0)$，那么它的最小值为_

   （利用基本不等式）

2. 若函数$f(x)=x^2+ax^3$，当$a$为__时，函数为偶函数

   奇函数：$f(-x)=-f(x)$

   偶函数：$f(-x)=f(x)$

3. 设$f(\log2x)=2^x\ (x>0)$，则$f(2)=$__

   对数运算法则：

   $\log(MN)=\log M+\log N$

   $\log(\frac{M}{N})=\log M-\log N$

4. 请证明$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的单调性

   单调递增：

   $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$$

   单调递减：

   $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$$

化简技巧：

$$\sqrt{a^2-1}-\sqrt{b^2-1}=(\sqrt{a^2-1}-\sqrt{b^2-1})\times\frac{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}}{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}}$$

1. 函数$f(x)=\ln x+2^x-8$的零点个数为多少？

   若$\exists x_0$，使得$f(x_0)=0$，那么$x_0$为函数的零点

2. 已知$\cos \alpha=\frac{4}{5}$，请分别讨论$\alpha$在四种象限时$\sin\alpha$和$\tan\alpha$的大小

3. $\cos1000^\circ$的正负？

4. $\sin x+\cos x = -5/4$，判断$x$的象限。

5. 概率论中，我们常常使用似然函数来求出某个统计量的最大似然估计量。其思想是，首先构造似然函数$L(\theta)$，然后求出对数似然函数$\ln L(\theta)$，判断$\ln L(\theta)$的单调性，求出最大值时$\theta$的取值。

   （1）现有似然函数$L(\theta)=e^{-\theta^2+2\theta-1}$，请你找出当$\ln L(\theta)$取最大值的时候，$\theta$的最大似然估计量；

   *（2）严格来说，似然函数的定义为$L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)$，$f(x_i;\theta)$为概率密度函数。若概率密度函数为$f(x_i;\theta)=\theta x_i^{-(\theta+1)}$，求其最大似然估计量。