OpenGL教程：8. 摄像机坐标系

摄像机方向

摄像机是一种抽象的结构，它表示我们看东西的媒介，类似于眼睛。为了定义摄像机，我们给定摄像机的世界空间位置向量$\boldsymbol{eye}=(x_0,y_0,z_0,1)$，以及我们要观察的片元的世界空间位置向量$\boldsymbol{frag}$。

为了构建摄像机的坐标系，我们需要三个正交的基向量，而其中一个必须表示方向信息。首先可以计算出摄像机的方向向量：

可以计算摄像机的视角方向向量，简称方向向量：

$$\boldsymbol{n=\frac{frag-eye}{|frag-eye|}}$$

摄像机的右轴

现在有了第一个基向量$\boldsymbol{n}$，然后需要找到摄像机的右轴，充当其坐标系的第二个基向量。为此，我们要引用一个辅助向量$\boldsymbol{up}=(0,1,0)$，也就是上向量。进行叉乘，就可以得到第二个正交的基向量：

$$\boldsymbol{v=\frac{up\times n}{|up\times n|}}$$

如图所示：

摄像机的上轴

最后处理上轴，请问上轴是$\boldsymbol{up}$吗？不是！因为$\boldsymbol{up}$不一定与$\boldsymbol{n}$正交，因此我们还要找到上轴基向量！

非常简单，只需要：

$$\boldsymbol{u=v\times n}$$

如图所示：

LookAt矩阵的推导

为了实现世界空间与观察空间的变换，我们需要引入一个矩阵。这就是LookAt矩阵的作用。

LookAt矩阵实现了将摄像机坐标系的基向量变换到世界坐标系的基向量。为此我们将进行推导。我们令：

$$\boldsymbol{LookAt=RT}$$

其中$\boldsymbol{T}$是平移矩阵，$\boldsymbol{R}$是旋转矩阵。这个矩阵将进行摄像机坐标系基向量变换到世界坐标系基向量。

首先需要将摄像机平移到世界坐标原点，也就是将$\boldsymbol{eye}$向量平移到原点位置，不难知道平移矩阵的值：

$$\boldsymbol{T= \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&-y_0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] }$$

因此：

$$\boldsymbol{T·eye} = \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&-y_0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} x_0\\ y_0\\ z_0\\ 1 \end{array} \right] =\boldsymbol{0}$$

平移到了原点。

接下来推导$\boldsymbol{R}$，$\boldsymbol{R}$是将摄像机坐标系的基向量旋转到世界坐标系的基向量的位置，即：

$$\left[ \begin{array}{cccc} \boldsymbol{x}&\boldsymbol{y}&\boldsymbol{z}&\boldsymbol{\alpha} \end{array} \right] =\boldsymbol{R} \left[ \begin{array}{cccc} \boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{n}&\boldsymbol{\alpha} \end{array} \right]$$

其中$\boldsymbol{\alpha=}\left[
\begin{array}{cccc}
0&0&0&1
\end{array}
\right]^T$。

但这样比较难计算，我们可以求$\boldsymbol{R^{-1}}$然后求逆矩阵就好了！也就是将世界坐标系的基向量变换到摄像机坐标系的基向量：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{R^{-1}}&= \boldsymbol{ \left[ \begin{array}{cccc} \boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{n}&\boldsymbol{\alpha} \end{array} \right] } \left[ \begin{array}{cccc} \boldsymbol{x}&\boldsymbol{y}&\boldsymbol{z}&\boldsymbol{\alpha} \end{array} \right]^{-1}\\ &=\left[ \begin{array}{cccc} u_x&v_x&n_x&0\\ u_y&v_y&n_y&0\\ u_z&v_z&n_z&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right]^{-1}\\ &= \left[ \begin{array}{cccc} u_x&v_x&n_x&0\\ u_y&v_y&n_y&0\\ u_z&v_z&n_z&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] \end{aligned}$$

根据格拉姆-施密特正交化的理念，能够知道$\boldsymbol{R^{-1}}$是正交矩阵，转置矩阵等于逆矩阵，因此：

$$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{(R^{-1})^{-1}}=\boldsymbol{(R^{-1})^T} = \left[ \begin{array}{cccc} u_x & u_y & u_z & 0\\ v_x & v_y & v_z & 0\\ n_x & n_y & n_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

综上所述：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{ LookAt=RT } &= \boldsymbol{ \left[ \begin{array}{cccc} u_x & u_y & u_z & 0\\ v_x & v_y & v_z & 0\\ n_x & n_y & n_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&-y_0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] }\\ &= \boldsymbol{ \left[ \begin{array}{cccc} u_x & u_y & u_z & -x_0u_x-y_0u_y-z_0u_z\\ v_x & v_y & v_z & -x_0v_x-y_0v_y-z_0v_z\\ n_x & n_y & n_z & -x_0n_x-y_0n_y-z_0n_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] }\\ &= \boldsymbol{ \left[ \begin{array}{cccc} u_x & u_y & u_z & \boldsymbol{-eye}·\boldsymbol{u}\\ v_x & v_y & v_z & \boldsymbol{-eye}·\boldsymbol{v}\\ n_x & n_y & n_z & \boldsymbol{-eye}·\boldsymbol{n}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] } \end{aligned}$$

OpenGL教程：8. 摄像机坐标系

http://blog.inverseda.top/2022/11/07/ComputerGraphics/OpenGL/8.摄像机及其坐标系/

Author

InverseDa

Posted on

2022-11-07

Updated on

2023-03-30

Licensed under

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