深度重建世界坐标

熟悉MVP流程

MVP变换中，一般是这样得到裁剪坐标：

$$\bf clipPos=PVM\times localPos$$

之后，经过透视除法，得到NDC坐标：

$$\bf NDCPos=\bf{clipPos.xyz/clipPos.w}$$

深度重建世界坐标

正常的MVP变换中，一般由如下操作获得裁剪坐标：

$$\bf {clipPos}=PV\times\bf{worldPos}$$

然后进行透视除法获得NDC坐标：

$$\bf{NDCPos}=\bf{clipPos.xyz/clipPos.w}$$

现在我们需要将NDC坐标逆推回世界坐标，容易知道：

$$\begin{aligned} \bf{worldPos}&=\bf (PV)^{-1} \times clipPos\\ \bf clipPos.xyz&=\bf NDCPos\times clipPos.w \end{aligned}$$

构造一个新的clipPos：

$$\begin{aligned}\bf clipPos&=\bf(clipPos.xyz,clipPos.w) \\&=\bf(NDCPos\times clipPos.w, clipPos.w)\\ &=\bf clipPos.w(NDCPos, 1) \end{aligned}$$

带入回去，得到：

$$\bf worldPos=(PV)^{-1} \times clipPos.w \times (NDCPos, 1)$$

但注意到$\bf worldPos.w=1$，于是：

$$\bf{clipPos.w}=\frac{worldPos.w}{((PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)).w}=\frac{1}{((PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)).w}$$

所以可以间接求出$\bf clipPos.w$

代入原式，得到：

$$\bf worldPos=\frac{(PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)}{((PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)).w}$$

因此我们不需要$\bf clipPos.w$也是可以得到世界坐标的，因为$\bf ((PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)).w$其实就是$\bf worldPos.w$，所以只要算出$\bf (PV)^{-1}\times (NDCPos, 1)$，然后除以自身即可！

代码如下：

float depth = texture(depthTex, texcoord);
vec4 ndcPos = vec4(2 * texcoord, 2 * depth - 1, 1.0f);
vec4 worldPos = InverseVP * ndcPos;
worldPos.xyz /= worldPos.w